Soucca 8a — Talmud de Babylone

▶ 💬 Guemara The Gemara answers: This applies only in the middle of the circle that has a circumference of twelve cubits, as the diam…

The Gemara answers: This applies only in the middle of the circle that has a circumference of twelve cubits, as the diameter of the circle is four cubits; but in order for a square inscribed within a circle to have a perimeter of sixteen cubits, the circle requires a circumference that is more than twelve cubits. The Gemara asks further: Now, by how much is the perimeter of a square inscribing a circle greater than the circumference of that circle? It is greater by one quarter of the perimeter of the square. If that is the case, a circle with a circumference of sixteen cubits is sufficient. Why, then, does Rabbi Yoḥanan require a circumference of twenty-four cubits? The Gemara answers: This statement with regard to the ratio of the perimeter of a square to the circumference of a circle applies to a circle inscribed in a square, but in the case of a square circumscribed by a circle, the circle requires a greater circumference due to the projection of the corners of the square. In order to ensure that a square whose sides are four cubits each fits neatly into a circle, the circumference of the circle must be greater than sixteen cubits. The Gemara calculates precisely how much greater the circumference must be in order to circumscribe the four-by-four-cubit square. Now, in every square whose sides each measure one cubit its diagonal measures one and two-fifths cubits, and in a circle that circumscribes a square, the diagonal of the square is the diameter of the circle. In this case, the circumscribed square measures four by four cubits; therefore, the diagonal of the square, which is the diameter of the circle, measures five and three-fifths cubits. Since the Gemara calculates the circumference of the circle as three times its diameter, a circular sukka with a circumference of seventeen cubits minus one-fifth of a cubit should be sufficient. The Gemara answers: Rabbi Yoḥanan was not precise and rounded the dimensions of the circular sukka to a number higher than the absolute minimum. The Gemara wonders: Say that we say that the Sage was not precise when the difference between the number cited and the precise number is slight; however, when the difference is great, do we say the Sage was not precise? After all, Rabbi Yoḥanan stated that the minimum measure is twenty-four cubits, a difference of more than seven cubits. Mar Keshisha, i.e., the elder, son of Rav Ḥisda, said to Rav Ashi: Do you hold that when a man sits, he sits and occupies one cubit, and consequently a sukka that seats twenty-four people must have a circumference of twenty-four cubits? In fact, three people sit and occupy two cubits. The Gemara asks: How many cubits are there in the sukka required by Rabbi Yoḥanan? There are sixteen cubits. But we require a sukka with a circumference of seventeen cubits minus one-fifth, as calculated above. The Gemara answers: He was not precise and rounded the figure down to the lower whole number; actually, the required circumference is four-fifths of a cubit larger. The Gemara rejects this explanation: Say that we say that the Sage was not precise when the result is a stringency, e.g., he required a sukka whose dimensions are greater than the minimum required dimensions; however, when the result is a leniency, do we say the Sage was not precise? In that case, the lack of precision will lead to establishing a sukka whose dimensions are smaller than the minimum requirement. Rav Asi said to Rav Ashi: Actually, a man sits and occupies one cubit, and Rabbi Yoḥanan is not factoring the space that the men occupy in his calculation. In other words, to this point, the assumption has been that Rabbi Yoḥanan calculated the circumference of the sukka required to seat twenty-four people. Actually, he merely calculated the circumference of the inner circle formed by the twenty-four people seated. The Gemara asks: How many cubits are there in the circumference of the inner circle formed by a circle of twenty-four people? There are eighteen cubits. Based on the principle that for every three cubits of circumference there is one cubit of diameter, the diameter of a circle whose outer circumference surrounds twenty-four people is eight cubits. To calculate the circumference of the inner circle, subtract from the diameter the space occupied by two people, each sitting at one end of the diameter. The result is a diameter of six cubits. Based on the above principle, a circle with a diameter of six cubits will have a circumference of eighteen cubits. However, a circumference of seventeen cubits minus one-fifth of a cubit should be sufficient. The Gemara answers: This is the case where he was not precise, and in this case he is not precise when the result is a stringency, as instead of sixteen and four-fifths, Rabbi Yoḥanan required eighteen cubits. The Sages of Caesarea, and some say that it was the judges of Caesarea, said that Rabbi Yoḥanan’s statement could be explained using a different calculation: The circumference of a circle inscribed in a square is one-quarter less than the perimeter of the square,

▶ 🇫🇷 Résumé en français La Guemara répond : Cela ne s'applique qu'au milieu du cercle qui a une circonférence de douze coudées, car le diamètre …

La Guemara répond : Cela ne s'applique qu'au milieu du cercle qui a une circonférence de douze coudées, car le diamètre du cercle est de quatre coudées ; mais pour qu'un carré inscrit dans un cercle ait un périmètre de seize coudées, le cercle exige une circonférence qui est plus que douze coudées. La Guemara demande encore : Or, de combien le périmètre d'un carré circonscrivant un cercle est-il plus grand que la circonférence de ce cercle ? Il est plus grand d'un quart du périmètre du carré. Si tel est le cas, un cercle avec une circonférence de seize coudées est suffisant. Pourquoi, alors, Rabbi Yoḥanan exige-t-il une circonférence de vingt-quatre coudées ? La Guemara répond : Cette déclaration concernant le rapport entre le périmètre d'un carré et la circonférence d'un cercle s'applique à un cercle inscrit dans un carré, mais dans le cas d'un carré circonscrit par un cercle, le cercle exige une plus grande circonférence en raison de la saillie des angles du carré. Afin de garantir qu'un carré dont les côtés mesurent chacun quatre coudées s'insère parfaitement dans un cercle, la circonférence du cercle doit être supérieure à seize coudées. La Guemara calcule précisément de combien la circonférence doit être plus grande pour circonscrire le carré de quatre coudées sur quatre. Or, dans tout carré dont les côtés mesurent chacun une coudée, sa diagonale mesure une coudée et deux cinquièmes, et dans un cercle qui circonscrit un carré, la diagonale du carré est le diamètre du cercle. Dans ce cas, le carré circonscrit mesure quatre coudées sur quatre ; par conséquent, la diagonale du carré, qui est le diamètre du cercle, mesure cinq coudées et trois cinquièmes. Puisque la Guemara calcule la circonférence du cercle comme étant trois fois son diamètre, une sukka circulaire avec une circonférence de dix-sept coudées moins un cinquième de coudée devrait être suffisante. La Guemara répond : Rabbi Yoḥanan n'était pas précis et a arrondi les dimensions de la sukka circulaire à un nombre supérieur au minimum absolu. La Guemara s'étonne : Dites que nous disons que le Sage n'était pas précis lorsque la différence entre le nombre cité et le nombre exact est légère ; cependant, lorsque la différence est grande, disons-nous que le Sage n'était pas précis ? Après tout, Rabbi Yoḥanan a déclaré que la mesure minimale est de vingt-quatre coudées, une différence de plus de sept coudées. Mar Keshisha, c'est-à-dire l'aîné, fils de Rav Ḥisda, dit à Rav Ashi : Tiens-tu pour acquis que lorsqu'un homme s'assoit, il s'assoit et occupe une coudée, et par conséquent une sukka qui accueille vingt-quatre personnes doit avoir une circonférence de vingt-quatre coudées ? En fait, trois personnes s'assoient et occupent deux coudées. La Guemara demande : Combien de coudées y a-t-il dans la sukka requise par Rabbi Yoḥanan ? Il y en a seize coudées. Mais nous exigeons une sukka avec une circonférence de dix-sept coudées moins un cinquième, comme calculé ci-dessus. La Guemara répond : Il n'était pas précis et a arrondi le chiffre à l'unité inférieure ; en réalité, la circonférence requise est plus grande de quatre cinquièmes de coudée. La Guemara rejette cette explication : Dites que nous disons que le Sage n'était pas précis lorsque le résultat est une rigueur, par exemple, il a exigé une sukka dont les dimensions sont supérieures aux dimensions minimales requises ; cependant, lorsque le résultat est une indulgence, disons-nous que le Sage n'était pas précis ? Dans ce cas, le manque de précision conduira à établir une sukka dont les dimensions sont inférieures à l'exigence minimale. Rav Asi dit à Rav Ashi : En réalité, un homme s'assoit et occupe une coudée, et Rabbi Yoḥanan ne tient pas compte de l'espace que les hommes occupent dans son calcul. En d'autres termes, jusqu'à présent, l'hypothèse était que Rabbi Yoḥanan calculait la circonférence de la sukka requise pour asseoir vingt-quatre personnes. En réalité, il a simplement calculé la circonférence du cercle intérieur formé par les vingt-quatre personnes assises. La Guemara demande : Combien de coudées y a-t-il dans la circonférence du cercle intérieur formé par un cercle de vingt-quatre personnes ? Il y en a dix-huit coudées. Sur la base du principe que pour chaque trois coudées de circonférence, il y a une coudée de diamètre, le diamètre d'un cercle dont la circonférence extérieure entoure vingt-quatre personnes est de huit coudées. Pour calculer la circonférence du cercle intérieur, soustrayez du diamètre l'espace occupé par deux personnes, chacune assise à une extrémité du diamètre. Le résultat est un diamètre de six coudées. Sur la base du principe ci-dessus, un cercle avec un diamètre de six coudées aura une circonférence de dix-huit coudées. Cependant, une circonférence de dix-sept coudées moins un cinquième de coudée devrait être suffisante. La Guemara répond : C'est le cas où il n'était pas précis, et dans ce cas il n'est pas précis lorsque le résultat est une rigueur, car au lieu de seize et quatre cinquièmes, Rabbi Yoḥanan a exigé dix-huit coudées. Les Sages de Césarée, et certains disent que c'étaient les juges de Césarée, dirent que la déclaration de Rabbi Yoḥanan pourrait être expliquée en utilisant un calcul différent : La circonférence d'un cercle inscrit dans un carré est d'un-quart inférieure au périmètre du carré,

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